Biometrieübung 10
Lineare Regression

Formeln

Einfache, lineare Regression

einfachste funktionale Beziehung zwischen 2 Merkmalen
= einfache, lineare Regression

y_i = + ß x_i
und ß sind Populationsparameter

Gleichung = Gleichung für Gerade
= Schnittpunkt der Linie mit Y-Achse
ß = Steigung der Geraden
Die Beziehung wird durch eine Linie beschreiben.

Frage:      Wie findet man die Linie, die die Daten am besten "ausgleicht"?
Lösung:    Durch die Methode der kleinsten Quadrate.

jeder Wert x hat entsprechenden Wert y auf der Geraden
y = beobachteter Wert
= Wert auf der Geraden (geschätzt)

=> beobachteter Datenpunkt (x_i, y_i)
Punkt auf Regressionslinie = (x_i,)
Kriterium der kleinsten Quadrate betrachtet die Abweichung jedes Punktes von der Linie, i.e. y_i -

beste Anpassung:  kleinster Wert der Summe der Abweichungen für alle Punkte y_i und

n = Anzahl Datenpunkte
und ß der Population nur dann zu berechnen, wenn alle Populationswerte vorliegen
=> und ß der Population auf Basis der n Beobachtungen schätzen

Regressionskoeffizient b

wird zuerst berechnet

y-Achsendurchgang

unendliche Anzahl Geraden mit identischer Steigung
spezielle Gerade bestimmt durch Steigung und ein Punktepaar x / y auf der Geraden
per Konvention der Punkt gewählt, an dem die Y-Achse durchschnitten wird

=> dort, wo x = 0
= Y - Achsendurchgang

es kann mathematisch gezeigt werden, daß der Punkt immer auf der Ausgleichsgeraden liegt, falls in Geradengleichung substituiert wird, folgt

damit folgt

Schätzung von Werten für y

falls a und b bekannt, kann für jeden x -Wert der entsprechende y -Wert bestimmt werden
falls Gerade gezeichnet werden soll: 2 Extreme nehmen
Schätzung von y nur für Bereich zulässig, für den Daten vorhanden sind

Voraussetzungen der Regressionsanalyse

1. Linearität der Koeffizienten
2. falls Variable x_i nicht in linearer Form vorliegt, durch Transformation linearisieren (falls möglich) evtl. nichtlineare Regression anwenden
3. y_i - Werte für jeden Wert von x müssen normalverteilt sein
4. Varianzen der y_i-Werte müssen über den gesamten Merkmalsbereich homogen sein

Signifikanz der Regression

können Regressionsgerade herleiten und b bestimmen
b0
folgt daraus ß0 ?

Hypothese bilden
H₀: ß = 0
H_A: ß0
falls Schluß, das angemessene Wahrscheinlichkeit, daß kalkuliertes b aus Population mit ß = 0 kommt, wird H₀ nicht verworfen

zuerst gesamte Variabilität der abhängigen Variablen kalkulieren

dann Variabilität, die daher stammt, daß Regressionsbeziehung existiert:

= SQ Regression

SQ_reg = SQ_ges nur, falls alle Punkte auf der Regressionsgeraden liegen
falls Abweichungen von Regressionsgeraden (= wahrscheinlicher Fall)
=> Reststreuung/ Fehlerstreuung

Art	SQ	FG	MQ	F
Gesamt		n-1
Regression		1*	SQ/1
Residual		n-2	SQ/(n-2)

* Anzahl Parameter, die geschätzt werden, -1, hier a und ß = 2 –1 = 1

F wird mit verglichen
falls F >
=> H₀: ß = 0 verwerfen
=> d.h. Regressionsbeziehung gerechtfertigt

MQ_res wird oft auch als Standardfehler der Regression oder Standardfehler der Schätzung mit s²_y,x bezeichnet => Varianz von y nachdem die Abhängig von y von x in Betracht gezogen wurde

der Anteil der Gesamtstreuung von y, der durch die Beziehung von y und x definiert wird, = Bestimtheitsmaß r²

r² = SQ_reg / SQ_ges

Letzte Änderung: 20.09.1999
Kontakt: Wolfgang Stümer