Biometrieübung 7
t-Test (gepaarte Daten) & Wilcoxon-Test

Formeln

Vergleich zweier Mittelwerte verbundener Stichproben

verbundene Stichproben?
in vielen Experimenten dieselben Individuen bzw. Objekte vor und nach Behandlung

Beispiele:

• Haarwuchstonikum
• Fischsterben durch übersäuerte Seen (Skandinavien) => Kalkung
• Erhöhung des Durchmesserzuwachses durch Düngung
• Ertrag an Früchten in 2 verschiedenen Jahren (Witterungseinfluß)

Grund: schaltet Variabilität der Population aus

Fragestellung: sind die Mittelwerte und zweier verbundener Stichproben X und Y signifikant verschieden?

Voraussetzung:

• Stichproben verbunden, gepaart und abhängig
• Meßwerte intervallskaliert
• Differenzen normalverteilt mit unbekannter Differenz d

Anwendung des t-Tests für gepaarte Daten

Hypothesen:

H₀ () bzw. H₀ ()
H_A () bzw. H_A ()

Rechenweg:

1. Berechne

n = Stichprobenumfang (Anzahl Beobachtungen)
d_i = x_i - y_i = i-te Meßwert-Differenz

(arithmetischer Mittelwert der Differenzen d_i)

(Standardabweichung der Differenzen d_i)

2. t-Wert aus t-Tabelle

FG = n-1

3. Vergleiche Prüfgröße und Tabellenwert

t_berech t_Tab => H₀ () und damit H₀ ()
t_berech > t_Tab => H_A () und damit H_A ()

Der Wilcoxon-Test

Optimale Tests für den Vergleich zweier verbundener Stichprobe, für den Vergleich gepaarter Beobachtungen, sind der t-Test bei normalverteilten Differenzen und der Vorzeichen-Rang-Test von Wilcoxon bei nicht normalverteilten Differenzen. Dieser Test, als Wilcoxon-Test (für Paardifferenzen) bekannt, kann auch auf Rangdaten angewendet werden. Er erfordert, verglichen mit dem t-Test, wesentlich weniger Rechenarbeit.
Der Test klärt die Frage, ob 2 Behandlungen unterschiedliche Verteilungsfunktionen an der selben Beobachtungseinheit erzeugen. Er gestattet die Prüfung, ob der Erwartungswert der Differenzen paarig angeordneter Beobachtungen signifikant von 0 verschieden ist.

Voraussetzungen:

• Unabhängigkeit der Beobachtungspaare
• Kontinuierliche Verteilungsfunktion (F₁; F₂)
• Näherungsweise gleiche Verteilungsform der Funktion (F₁; F₂)
• Anzahl von 0 verschiedenen Differenzen sollte >5 sein.

Die Hypothesen lauten:

H₀: F₁ = F₂
H₁: F₁ F₂

Die Prüfgröße berechnet sich wie folgt: Man bildet die Differenzen der Beobachtungspaare.

Die absoluten Differenzbeträge bringt man in eine ansteigende Rangordnung: Ergeben sich Differenzen von 0, so werden diese in der Vergabe von Rangplätzen nicht berücksichtigt. Der kleinste erhält die Rangzahl 1,..., und der größte die Rangzahl n. Bei gleichgroßen Beträgen werden mittlere Rangzahlen zugeordnet. Bei jeder Rangzahl wird vermerkt, ob die zugehörige Differenz ein positives oder ein negatives Vorzeichen aufweist. Man bildet die Summe der positiven und der negativen Rangzahlen ( und ), kontrolliert sie nach

und benutzt als Testgröße die kleinere der beiden Rangsummen ().

Die Nullhypothese wird verworfen, wenn der berechnete -Wert kleiner oder gleich dem kritischen Wert ist. Der kritische Wert wird aus der Tabelle abgelesen, wobei n die Anzahl aller Paare minus Anzahl der Paare mit der Differenz 0 ist.

=> H₀ wird abgelehnt

(Für die Bezeichnung R wird auch die Bezeichnung W verwendet.)

Letzte Änderung: 15.07.1999
Kontakt: Wolfgang Stümer