Biometrieübung 6
t-Test, Welch-Test, Mann-Whitney-Test

Formeln

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben (t-Test)

Fragestellung: sind die Mittelwerte und zweier unabhängiger Stichproben X und Y signifikant verschieden?
Voraussetzung: beide Grundgesamtheiten normalverteilt mit gleichen, unbekannten Varianzen; unabhängige Stichproben

H₀:
H_A:

Rechenweg:

1. Berechne

bei zweiseitiger Fragestellung auch

falls n₁ = n₂ = n

n₁ = Umfang Stichprobe X
n₂ = Umfang Stichprobe Y
und die jeweiligen Mittelwerte

oder

2. t-Wert aus t-Tabelle

FG = = n₁ + n₂ – 2

FG (Anzahl der Freiheitsgrade) ergibt sich aus Stichprobenumfang n und wird i.d.R. vermindert um die Anzahl der Parameter, die aus Stichprobe geschätzt werden, hier: 2 Mittelwerte

3. Vergleiche Prüfgröße und Tabellenwert

(x entspricht 1; und y entspricht 2)
Für H_A: (H₀: ), falls , dann wird H₀ abgelehnt
Für H_A: (H₀: ), falls , dann wird H₀ abgelehnt
Für H_A: (H₀: ), falls , dann wird H₀ abgelehnt

Welch-Test

Dieser Test wird angewendet, wenn zwei Meßwertreihen unter folgenden Bedingungen hinsichtlich der Lage miteinander zu vergleichen sind:

• Die Meßwerte sind Stichproben aus Grundgesamtheiten mit normalverteilten oder annähernd normalverteilten Zufallsgrößen und
• Die Standardabweichung in den Grundgesamtheiten, und , sind nicht – wie beim t-Test – gleich.

Hypothesen:

H₀:
H_A:

Rechenweg:

Aus den beiden Meßwertreihen mit den Umfängen n₁ und n₂ berechnet man die Stichproben-Mittelwerte und und die Stichproben-Varianzen und .

Als Prüfgröße dient der Ausdruck

Die beim Welch-Test maßgebende Zahl der Freiheitsgrade ergibt sich nicht direkt aus den beiden Stichprobenumfängen, sondern muß berechnet werden. Hierzu bestimmt man die Hilfsgröße

und daraus die genäherte Anzahl der Freiheitsgrade

ist i.a. keine ganze Zahl. Daher wird auf die nächste ganze Zahl abgerundet. ist die Zahl der Freiheitsgrade, mit der in einer Tabelle der kritische Wert zur Irrtumswahrscheinlichkeit ermittelt wird.

Vergleich von und dem Tabellenwert
Für H_A: (H₀: ), falls , dann wird H₀ abgelehnt

Mann-Whitney-Test (U-Test)

-verteilungsunabhängiges (oder parameterfreies) Verfahren, daß heißt, es werden keine Voraussetzungen an die Verteilungsform gestellt

Drei wichtige Gründe für die Anwendung verteilungsunabhängiger Verfahren:

1. Es liegen ordinale Daten vor, z. B. in Form von Rangfolgen.
2. Es liegen metrische Daten vor, von denen man von vornherein weiß, daß ihre Variationen dem Gesetz der Normalverteilung nicht folgt; gleichzeitig ist der Stichprobenumfang nur mäßig groß, so daß unsicher ist, ob für die Mittelwerte-Verteilung schon eine Normalverteilung unterstellt werden darf.
3. Es liegen metrische Daten geringen Umfanges vor, über deren Verteilung überhaupt nichts bekannt ist.

Ein wichtiger Vertreter aus der Gruppe der verteilungsunabhängigen Signifikanztests ist der Mann-Whitney-Test.

Anwendung des Mann-Whitney-Test:

1. In der gemeinsamen geordneten Rangreihe der Länge n₁ + n₂ ordnet man den Meßwerten die Rangnummern 1 bis n₁ + n₂ zu, notiert aber die Rangnummern nach beiden Proben getrennt.
2. Berechne für jede Probe die Summe der auf sie entfallenden Rangnummern; diese heißen auch die Rangsummen und werden mit R₁ und R₂ bezeichnet.
3. Aus R₁ und R₂ werden die Größen U₁ und U₂ durch folgende Formeln bestimmt:
   
   
4. Als Prüfgröße U gilt die kleinere der beiden Zahlen U₁ und U₂:
   U = min (U₁,U₂)
5. Ablesen des kritischen Wertes aus einer Tabelle
6. Vergleiche Prüfgröße und Tabellenwert; H₀ wird verworfen, falls

Letzte Änderung: 15.07.1999
Kontakt: Wolfgang Stümer