| Inhalt |
|---|
| Binomialverteilung |
| Poisson-Verteilung |
| Normalverteilung |
| Tabelle der Wahrscheinlichkeitsdichte der mormierten Normalverteilung |
| Tabelle der Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung |
Sie ist bei allen Problemen anwendbar, denen die folgende Fragestellung zugrunde liegt:
In einer Urne sind schwarze und weiße Kugeln enthalten, zusammen N Stück. Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel (Ereignis E) sei p. Aus dieser Urne wird jeweils eine Kugel gezogen und danach wieder zurückgelegt. Gefragt wird nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einer Reihe von n Zügen k-mal das Ereignis E eintritt und (n-k)-mal nicht eintritt (Zufallsgröße X). Das Verteilungsgesetz von X ist die angegebene Binomialverteilung.
Beispiel: Aus einer Urne wird jeweils eine
Kugel gezogen und wieder in die Urne gegeben. Die
Wahrscheinlichkeit ist p=1/4, eine schwarze Kugel zu ziehen. Je
10 solcher Ziehungen bilden eine Gruppe. Werden die Versuche
fortgesetzt, so wird die Anzahl der schwarzen Kugeln in den
einzelnen Gruppen verschieden sein, sie ist eine Zufallsgröße.
Mit Hilfe von 
, wobei k = 0, 1,..., 10 ist, ergibt sich
das Verteilungsgesetz:
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0,056 |
0,188 |
0,282 |
0,25 |
0,146 |
0,058 |
0,016 |
0,003 |
0,001 |
0,0 |
0,0 |
Durch graphische Darstellung gewinnt man einen Eindruck von dem Verteilungsgesetz.
Dieser Verteilung liegt im wesentlichen dasselbe Problem zugrunde wie der Binomialverteilung. Es unterscheidet sich nur darin, daß die Anzahl n der aus der Urne gezogenen Kugeln sehr groß und die Wahrscheinlichkeit p für das Ziehen einer schwarzen Kugel sehr klein ist. Mit anderen Worten: Die Poissonverteilung ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung für n ® ¥ und für p ® 0, wobei zusätzlich angenommen wird, daß das Produkt n * p = l konstant ist. Diese Verteilung wird also dann angewendet, wenn ein Ereignis sehr selten eintritt.
Die Poissonverteilung wird allein durch die Größe l bestimmt.
Beispiel: Aus einer Urne wird jeweils eine
Kugel gezogen und wieder in die Urne gegeben. Die
Wahrscheinlichkeit soll p = 0,01 sein, eine schwarze Kugel zu
ziehen. Je 60 solcher Ziehungen bilden eine Gruppe. Werden die
Versuche fortgesetzt, so wird die Anzahl der schwarzen Kugeln in
den einzelnen Gruppen verschieden sein, sie ist eine Zufallsgröße.
Aus 
, wobei l = 60 * 0,01 = 0,6
ist und k die Werte 1, 2, 3,..., 60 annehmen kann, ergibt sich
das Verteilungsgesetz
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
... |
60 |
|
0,549 |
0,329 |
0,099 |
0,020 |
0,003 |
0,000 |
... |
0,000 |
Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wird bei der Binomialverteilung die Reihe der Züge n unendlich groß und bleibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses (p = ½) fest, so gelangt man zur Normalverteilung. Während die Binomialverteilung für ganzzahlige Werte erklärt ist, rücken bei der Normalverteilung die Merkmalswerte unendlich dicht zusammen. Sie beschreibt im Gegensatz zur Binomialverteilung eine stetige Zufallsgröße X.
in Tabelle zusammengefaßt
in Tabelle zusammengefaßt
Letzte Änderung: 19.06.1999
Kontakt: Wolfgang Stümer
