Biometrieübung 2
Wahrscheinlichkeitsrechnung

Formeln

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung liefert mathematische Modelle für zufällige Erscheinungen der objektiven Realität.
Beim Wurf mit einem idealen Würfel ist das Erscheinen irgendeiner Zahl i (i = 1, 2,..., 6) ein zufälliges Ereignis, etwa mit A_i bezeichnet.
Zufälligen Ereignissen A, B (Ereignisfeld) werden Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B) für ihr Eintreten zugeordnet.

Relationen zwischen zufälligen Ereignissen

• A B bedeutet: A zieht B nach sich, d.h., wenn das Ereignis A eintritt, so ist gleichzeitig auch das Ereignis B eingetreten.
  Beispiel: Ist A das Ereignis, die Zahl 1 zu werfen, d.h. A = {1}, und B das Ereignis für das Auftreten einer ungeraden Augenzahl, d.h. B = {1,3,5}, dann gilt A B, denn A zieht B nach sich.

• Das Ereignis C = A B (lies: "C ist gleich A vereinigt mit B") heißt die (logische) Summe der Ereignisse A und B und tritt ein, wenn mindestens eines der Ereignisse A und B eintritt.
  Beispiel: Es gelte A = {2} und B = {1,3,5}. Das Ereignis C = A B tritt genau dann ein, wenn entweder 1 oder 2 oder 3 oder 5 geworfen wird, d.h. C = {1,2,3,5}.

• Das Ereignis C = A B (lies: "C ist gleich A geschnitten mit B") heißt das (logische) Produkt der Ereignisse A und B und tritt ein, wenn sowohl A als auch B eintritt.
  Beispiel: Mit A = {1} und B = {1,3,5} gilt C = {1}, C tritt also nur dann ein, wenn eine Eins geworfen wird.

• Ein Ereignis E heißt sicheres Ereignis (bezüglich eines festen Versuches), wenn es stets (d.h. bei jeder Wiederholung dieses Versuches) eintritt.
  Beispiel: E = {1,2,3,4,5,6} ist das sichere Ereignis bei einem Wurf mit einem idealen Würfel, da bei einem Wurf eine der sechs Augenzahlen bestimmt eintritt.

• Ein Ereignis heißt unmögliches Ereignis, wenn es niemals (d.h. bei keiner Wiederholung dieses Versuches) eintritt.
  Beispiel: Im Beispiel des idealen Würfels ist das etwa = {7} oder = {0}.

• heißt das zu A komplementäre Ereignis und tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.
  Beispiel: Das komplementäre Ereignis zu A = {1} ist = {2,3,4,5,6}.
  Es gilt stets A = E und A = . E und sind einander komplementär.

• A und B heißen unvereinbar oder disjunkt, wenn ihr gleichzeitiges Eintreten unmöglich ist, d.h. A B = gilt. Man sagt auch: A und B schließen sich gegenseitig aus.
  Beispiel: Setzt man A = {1} und B = {2,4,6}, so sind A und B unvereinbar, d.h. A B = .

• Alle zufälligen Ereignisse, die für ein bestimmtes Beispiel unter gleichbleibenden Bedingungen auftreten können, bilden das Ereignisfeld E.
  Ein Ereignis A E heißt elementares Ereignis oder Elementarereignis, wenn es sich nicht weiter zerlegen läßt.
  Beispiel: Die Ereignisse A₁,...,A₆ sind die Elementarereignisse zu dem idealen Wurf gehörenden Ereignisfeld E.

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Ist unter n₁ Versuchen das Ereignis A gerade m₁-mal eingetreten, so ist der Quotient die relative Häufigkeit von A.
Beispiel: Wirft man den Würfel sehr oft und notiert die Anzahl der auftretenden Einsen, so kann man feststellen, daß die relative Häufigkeit von A = {1} um den Wert 1/6 = 0,1666 schwankt.

Es existiert im allgemeinen Fall ein fester Wert, um den die relative Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses schwankt und dem sie sich um so mehr nähert, je größer die Anzahl der Versuche ist. Diese Konstante nennt man die Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses A und bezeichnet sie mit P(A); [0 P(A) 1]; (Grenzwertsatz Bernoulli).
(Nur für endlich viele, gleichmögliche Versuchsausgänge gilt die klass. Definition der Wahrscheinlichkeit.)

Die Addition von Wahrscheinlichkeiten

P(A₁ A₂ ... A_n) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_n)

P( ) = 1 - P(A)

Die Additionsregel verknüpft Wahrscheinlichkeiten von zufälligen Ereignissen, die in einer Entweder – Oder – Beziehung zueinander stehen.

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man bei einem Wurf die Zahl 3 und 5 erhält, ist

Bei nicht unvereinbaren Ereignissen gilt:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatspiel eine rote bzw. eine Bildkarte zu ziehen?

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, daß das Ereignis B schon eingetreten ist, heißt Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B:

P(B) 0

Multiplikation der Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit des "sowohl – als auch", gleichzeitiges Eintreten mehrerer Ereignisse

Für 2 beliebige Ereignisse: P(A B) = P(A) * P(B / A)

Für unabhängige Ereignisse: P(A B C ...) = P(A) * P(B) * P(C) * ...

Beispiel: Zieht man aus einem Kartenspiel (32 Karten) eine Karte, so ist die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen .
Ist die gezogene Karte ein König und zieht man eine weitere Karte, so ist die Wahrscheinlichkeit, wieder einen König zu ziehen .
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Könige mit zwei Karten zu ziehen, ist .

Für k unabhängige Ereignisse A₁,A₂,...,A_k ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß

sie gleichzeitig auftreten P = P(A₁) * P(A₂)* ... * P(A_k)

keines eintritt P = [1 - P(A₁)] * [1 - P(A₂)] * ... * [1 - P(A_k)]

mindestens eines eintritt P = 1 - [1 - P(A₁)] * [1 - P(A₂)] * ... * [1 - P(A_k)]

Letzte Änderung:21.02.1999
Kontakt: Wolfgang Stümer